\(\longrightarrow\)Extremum d'une fonction:

• Global
• Local

Soient \(f:I\)\to\(R\) définie sur un intervalle I. On dit que \(x_0\) est un point point critique si \(f'(x_0)=0\)
\(\Rightarrow\) La fonction admet un maximun local en \(x_0\) sil existe un intervalle ouvert J contenant \(x_0\) tel que:
$$\forall x \in I\cap J , f(x)\leq f(x_0)$$
\(\Rightarrow\) La fonction admet un minimum local en \(x_0\) sil existe un intervalle ouvert J contenant \(x_0\) tel que:
$$\forall x \in I\cap J , f(x)\geq f(x_0)$$
Si \(f\) admet un maximum ou un minimum local en \(x_0\), on dit que \(f\) admet un extremum local.

• Théorème: Si \(f:I\)\to\(R\) une fonction dérivable . Si \(f\) admet un extremum local en \(x_0\), alors \(f'(x_0)=0\)

Exemple: \(f(x)=x^3\)
$$f'(x)=3x^2$$
$$f'(0)=0$$
Par contre 0 n'est pas un extrenum
Théorème:
Soit I un intervalle ouvert et \(f:I\)\to\(R\) une fonction dérivable. Si f admet un extremum local en \(x_0\) alors \(f'(x_0)=0\) Démonstration:
Supposons que \(x_0\) soit un maximum (minimum fonctionne aussi) local de \(f\) . Soit \(J\) un intervalle ouvert de la définition contenant \(x_0\) tel que $$\forall x \in I\cap J$$ On a $$f(x)\(\Leftarrow\)f(x_0)$$

• Pour \(x\in I\cap J\) tel que \(x\lt x_0\) on a \( \)f(x)-f(x_0)\(\Leftarrow\)0$$ et $$x-x_0\lt 0$$

\(\longrightarrow\) Donc \( \)\lim_{x\(\to\)x_0^-}\frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\gt =0$$

• Pour \(x\in I\cap J\) tel que \(x\gt x_0\) on a \( \)f(x)-f(x_0)\(\Leftarrow\)0$$

$$x-x_0\gt 0$$
$$\lim_{x\(\to\)x_0^+}\frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\(\Leftarrow\)0$$
Mais f est dérivable en \(x_0\), alors \( \)\lim_{x\(\to\)x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\(\Leftarrow\)0$$$\(=\lim_{x\)\to\(x_0^+}\frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)\)$
$$f'(x_0)=0$$ Exemple:
\(f(x)= x^3 +k\), \(k\in R\)
\(f'(x)=3x^2\)
Si \(x_0\) est un extremum en \(x_0\), \(3x^2=0\) alors \(x=0\)

1. Si \(k\gt 0\)

\(f'(x)\gt 0\)
Alors \(f'_k(x)\) ne s'annule pas. Il n'y a pas de point critiques de \(f_k\) est strictement croissante sur R

1. Si k=0

\(f'_k(x)=3x^2\)
Le point crtique est \(x_0=0\)
Mais \(x_0=0\) n'est ni un maximum local ni un minimum local, car si \(x\lt 0\), \(f(x)\lt 0\) et \(x\gt 0\), \(f(x)\gt 0\) et \(f'_0(0)=0\)

1. \(k\lt 0\)

\(f'_k(x)=3x^2-{\rvert k\lvert} = 3(x+\sqrt{\frac {\rvert k\lvert}{3}}) (x-\sqrt{\frac {\rvert k\lvert}{3}})\)
Deux point critiques:
$$x_1=-\sqrt{\frac {\rvert k\lvert}{3}}$$
$$x_2=+\sqrt{\frac {\rvert k\lvert}{3}}$$
Nous avons:
\(\Rightarrow\) \(f'k(x)>0\) sur \(]-\infty,x1[\) et \(]x2, \infty[\)
\(\Rightarrow\) \(f'k(x)<0\) sur \(]x1 , x2[\) et \(fk\) est croissante sur \(]-\inf,x1[\), décroissante sur \(]x1 , x2[\).
Alors \(x_1\) est un maximun loal.
Nous avons aussi \(x_2\) un minim local Remarque:
\(\to\)L'intervalle est OUVERT. Pour le cas d'un intervalle fermé, il faut faire attention aux points d'extémités.
Exemple: \(f:[a,b]\)\to\( R\) est dérivable est admet un extrenum en \(x_0\)
Ou bien \(x_0=a\), \(x_0=b\), \(a\lt x_0\lt b\)
Ici, \(f'(x_0)=0\). Théorème de Rolle
Théorème des accroissements finis
Extréma locaux
Point critique d'une fonction à plusieurs variables